Δύο ξένοι, προερχόμενοι από τις δύο αντίθετες άκρες των ΗΠΑ, κάθονται ο ένας δίπλα στον άλλο κατά τη διάρκεια ενός επαγγελματικού ταξιδιού στο Μιλγουόκη και ανακαλύπτουν ότι η γυναίκα του ενός ήταν σε μια λέσχη τένις που διηύθυνε ένας γνωστός του άλλου. Αυτού του είδους η σύμπτωση είναι εκπληκτικά κοινή.
Αν υποθέσουμε ότι καθένας από τους 200 εκατομμύρια ενήλικους στις ΗΠΑ γνωρίζει περίπου 1.500 άτομα και ότι αυτά τα 1.500 άτομα είναι κανονικά διασκορπισμένα σε ολόκληρη τη χώρα, τότε η πιθανότητα είναι περίπου 1% να έχουν μία κοινή γνωριμία και μεγαλύτερη από 99% να συνδέονται μεταξύ τους μέσ’ από μια αλυσίδα δύο ενδιάμεσων κρίκων.
Μπορούμε να είμαστε σχεδόν βέβαιοι λοιπόν ότι, μ’ αυτές τις προϋποθέσεις, δύο τυχαία επιλεγμένα άτομα θα συνδέονται, όπως οι δύο ξένοι στο επαγγελματικό τους ταξίδι, με μια αλυσίδα το πολύ δύο ενδιάμεσων κρίκων. Αν κατά τη συζήτησή τους θα αραδιάσουν τα 1.500 άτομα περίπου που γνωρίζει ο καθένας (καθώς και τις γνωριμίες καθενός από αυτά τα 1.500 άτομα), ώστε να ανακαλύψουν τους δύο ενδιάμεσους που τους συνδέουν, αυτό είναι ένα άλλο ζήτημα, οπωσδήποτε πιο αμφίβολο.
Οι προϋποθέσεις αυτές μπορούν να μετριαστούν σε κάποιο βαθμό. Ίσως ο μέσος ενήλικος γνωρίζει λιγότερους από 1.500 άλλους ενηλίκους, ή, το πιθανότερο, τα περισσότερα άτομα που γνωρίζει κατοικούν κοντά του και δεν είναι διασκορπισμένα σε όλη τη χώρα. Όμως, ακόμη και σ’ αυτές τις περιπτώσεις, η πιθανότητα δύο τυχαία επιλεγμένων ατόμων να συνδέονται μεταξύ τους με δύο ενδιάμεσους είναι απροσδόκητα μεγάλη.
Μια πιο εμπειρική προσέγγιση στο θέμα των τυχαίων συναντήσεων έγινε από τον ψυχολόγο Stanley Milgram, ο οποίος έδωσε σε κάθε μέλος μιας τυχαία επιλεγμένης ομάδας ένα έγγραφο κι ένα (διαφορετικό) «άτομο-στόχο» στο οποίο έπρεπε να σταλεί το έγγραφο. Οι οδηγίες ήταν ότι κάθε άτομο έπρεπε να στείλει το έγγραφο σε όποιο γνωστό του πρόσωπο είχε τις μεγαλύτερες πιθανότητες να γνωρίζει το άτομο-στόχο, και να καθοδηγήσει το πρόσωπο αυτό να κάνει το ίδιο μέχρι να φτάσει το έγγραφο στο άτομο-στόχο. Ο Milgram βρήκε ότι ο αριθμός των ενδιάμεσων κρίκων κυμαινόταν από δύο μέχρι δέκα, ενώ το πέντε ήταν ο πιο συνηθισμένος αριθμός. Αυτή η μελέτη είναι πιο εντυπωσιακή, αν και λιγότερο θεαματική, από το προηγούμενο a priori επιχείρημα με τις πιθανότητες. Βοηθάει κατά κάποιον τρόπο να εξηγήσουμε πώς εμπιστευτικές πληροφορίες, φήμες και ανέκδοτα διεισδύουν τόσο γρήγορα σε έναν πληθυσμό.
Εάν ο στόχος είναι πολύ γνωστός, ο αριθμός των ενδιαμέσων είναι ακόμη μικρότερος, ιδιαίτερα αν έχετε κάποια σχέση με μία ή δύο διασημότητες. Πόσοι ενδιάμεσοι υπάρχουν ανάμεσα σ’ εσάς και τον Πρόεδρο Ρήγκαν; Ας πούμε ότι ο αριθμός τους είναι Ν. Τότε ο αριθμός των ενδιαμέσων ανάμεσα σ’ εσάς και τον Γενικό Γραμματέα Γκορμπατσώφ είναι μικρότερος ή ίσος με (Ν + 1), αφού ο Ρήγκαν έχει συναντήσει τον Γκορμπατσώφ. Πόσοι είναι οι ενδιάμεσοι ανάμεσα σ’ εσάς και τον Έλβις Πρίσλεϋ; Πάλι δεν μπορεί να είναι περισσότεροι από (Ν + 2), αφού ο Ρήγκαν έχει συναντήσει τον Νίξον, που έχει συναντήσει τον Πρίσλεϋ. Οι περισσότεροι άνθρωποι μένουν κατάπληκτοι όταν καταλαβαίνουν πόσο μικρή είναι η αλυσίδα που τους συνδέει με οποιαδήποτε σχεδόν διασημότητα.
Όταν ήμουν πρωτοετής στο πανεπιστήμιο, έγραψα μια επιστολή στον Άγγλο φιλόσοφο και μαθηματικό Μπέρτραντ Ράσσελ, λέγοντας του ότι υπήρξε είδωλό μου από τότε που πήγαινα στο γυμνάσιο και ζητώντας του κάτι που είχε γράψει σχετικά με τη θεωρία της λογικής του Γερμανού φιλόσοφου Χέγκελ. Αυτός όχι μόνο απάντησε στην επιστολή μου, αλλά περιέλαβε την απάντησή του στην αυτοβιογραφία του, στοιβαγμένη ανάμεσα σε επιστολές προς τον Νεχρού, τον Χρουτσώφ, τον Τ.Σ. Έλλιοτ, τον Ντ. X. Λώρενς, τον Λούντβικ Βίτγκενστάιν και άλλες διασημότητες. Μου αρέσει να διατείνομαι ότι ο αριθμός των ενδιαμέσων που με συνδέουν με αυτά τα ιστορικά πρόσωπα είναι ένα: ο Ράσσελ.
Ένα άλλο πρόβλημα πιθανοτήτων δείχνει πόσο συνηθισμένες μπορεί να είναι οι συμπτώσεις σε ένα άλλο πλαίσιο. Το πρόβλημα αποδίδεται συχνά με το παράδειγμα ενός μεγάλου αριθμού ανδρών που αφήνουν τα καπέλα τους στο βεστιάριο ενός εστιατορίου, οπότε ο υπάλληλος ανακατεύει αμέσως στην τύχη τους αριθμούς με τους οποίους θα τα ζητήσουν. Ποια είναι η πιθανότητα ένας τουλάχιστον από τους άνδρες να πάρει το καπέλο του φεύγοντας; Είναι φυσικό να σκεφτούμε ότι αν ο αριθμός των ανδρών είναι πολύ μεγάλος, αυτή η πιθανότητα θα είναι αρκετά μικρή. Το περίεργο είναι ότι 63 φορές στις 100 περίπου ένας άνδρας τουλάχιστον θα πάρει φεύγοντας το δικό του καπέλο.
Για να το πούμε με άλλο τρόπο: αν χίλιες επιστολές και χίλιοι φάκελοι με τις αντίστοιχες διευθύνσεις ανακατευτούν καλά κι έπειτα τοποθετηθεί μία επιστολή σε κάθε φάκελο, η πιθανότητα είναι πάλι 63% ότι μία τουλάχιστον επιστολή θα βρεθεί στον σωστό φάκελο. Ή πάρτε δύο καλά ανακατεμένες τράπουλες. Αν ανοίγετε παράλληλα ένα ένα φύλλο από καθεμιά, τι πιθανότητα υπάρχει να τραβήξετε μία φορά τουλάχιστον το ίδιο ακριβώς φύλλο κι απ’ τις δύο; Και πάλι 63% περίπου. (Δευτερεύουσα ερώτηση: Γιατί είναι αναγκαίο να ανακατέψετε καλά τη μία μόνο τράπουλα;)
Ένα πολύ απλό αριθμητικό αξίωμα που μπορεί να εξηγήσει τη βεβαιότητα ενός συγκεκριμένου είδους σύμπτωσης, εκφράζεται στο παράδειγμα του ταχυδρόμουπου έχει να διανείμει είκοσι μία επιστολές σε είκοσι γραμματοκιβώτια. Αφού το 21 είναι μεγαλύτερο από το 20, μπορεί να είναι βέβαιος, χωρίς καν να κοιτάξει τις διευθύνσεις, ότι τουλάχιστον ένα γραμματοκιβώτιο θα πάρει πάνω από μία επιστολή. Αυτό το ψήγμα κοινής λογικής, που μερικές φορές ονομάζεται αρχή της θυρίδας ή του συρταριού του Dirichlet, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μερικές φορές για τη συναγωγή συμπερασμάτων που δεν είναι τόσο προφανή.
Αυτή την αρχή επικαλεστήκαμε όταν λέγαμε πως αν έχουμε συγκεντρωμένα 367 άτομα, μπορούμε να είμαστε βέβαιοι ότι τουλάχιστον δύο από αυτά θα έχουν γεννηθεί την ίδια ημερομηνία. Πιο ενδιαφέρον είναι το γεγονός ότι δύο κάτοικοι της Φιλαδέλφειας τουλάχιστον πρέπει να έχουν τον ίδιο αριθμό τριχών στο κεφάλι τους. Πάρτε τη σειρά των αριθμών ώς το 500.000, ένα νούμερο που γενικά θεωρείται το ανώτερο όριο της ποσότητας τριχών που μπορεί να υπάρχουν σε οποιοδήποτε ανθρώπινο κεφάλι, και φανταστείτε ότι αυτοί οι αριθμοί είναι ετικέτες πάνω σε μισό εκατομμύριο γραμματοκιβώτια. Φανταστείτε επίσης ότι καθένας από τους 2,2 εκατομμύρια κατοίκους της Φιλαδέλφειας είναι μια επιστολή που θα παραδοθεί στο γραμματοκιβώτιο του οποίου η ετικέτα αντιστοιχεί στον αριθμό τριχών του κεφαλιού του. Έτσι αν ο δήμαρχος Wilson Goode έχει 223.569 τρίχες στο κεφάλι του, θα παραδοθεί στο γραμματοκιβώτιο που έχει αυτό τον αριθμό.
Αφού το 2.200.000 είναι σημαντικά μεγαλύτερο από το 500.000 μπορούμε να είμαστε βέβαιοι ότι δύο άτομα τουλάχιστον έχουν τον ίδιο αριθμό τριχών στο κεφάλι τους: δηλαδή ότι σε κάποιο γραμματοκιβώτιο θα φτάσουν δύο κάτοικοι της Φιλαδέλφειας τουλάχιστον. (Στην πραγματικότητα, μπορούμε να είμαστε βέβαιοι ότι πέντε κάτοικοι τουλάχιστον έχουν τον ίδιο αριθμό τριχών στο κεφάλι τους. Γιατί;)
*** Τζων Άλλεν Πάουλος – Αριθμοφοβία -Ο μαθηματικός αναλφαβητισμός και οι συνέπειές του. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑ klooun.com
0 comments
Δημοσίευση σχολίου